Estrem superiôr e estrem inferiôr

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In matematiche, l'estrem superiôr di un insiemi di numars reâi al è il plui piçul numar reâl che al è plui grant o avuâl a ducj i elements dal insiemi. In maniere duâl, l'estrem inferiôr al è il plui grant numar reâl che al è plui piçul o avuâl a ducj i elements dal insiemi.

I estrems superiôr e inferiôr si diferenziin dal massim e dal minim dal insiemi parcè che a puedin no apartignî al insiemi considerât.

Maiorants e minorants[cambie | modifiche il codiç]

I ponts blu a rapresentin l'insiemi , i ponts ros cualchi maiorant di . Il romp ros al rapresente l'estrem superiôr di .

Al sedi un insiemi di numars reâi. Si dîs maiorant di cualsisei numar reâl plui grant o avuâl a ducj i elements di (viodi ancje la figure a diestre). Invezit, i numars reâi che a son plui piçui o avuâi a ducj i elements di si disin minorants di . In maniere formâl

  • al è un maiorant di se e dome se , ;
  • al è un minorant di se e dome se , .

Un insiemi si dîs superiormentri (inferiormentri) limitât se al à almancul un maiorant (minorant) e superiormentri (inferiormentri) ilimitât se no 'nd à nissun. Un insiemi superiormentri e inferiormentri limitât si dîs, in maniere semplice, limitât. I esemplis che a seguissin a consolidin i concets presentâts.

  • L'interval sierât al è un insiemi limitât. Ducj i numars reâi maiôrs o avuâi a 2 a son maiorants di . Al contrari, i minorants di a son ducj i numars minôrs o avuâi a 0.
  • L'interval sierât e ilimitât a diestre al è un insiemi inferiormentri limitât e superiormentri ilimitât. Duncje, nol à maiorants e, invezit, ducj i numars minôrs o avuâi a 1 a son siei minorants.
  • L'insiemi dai numars intîrs nol à ni maiorants ni minorants. Duncje, al è ilimitât.
  • L'insiemi al à par maiorants ducj i numars maiôrs o avuâi a 1 e par minorants ducj i numars minôrs o avuâi a –1.

Estrem superiôr e estrem inferiôr[cambie | modifiche il codiç]

Si clame estrem superiôr di un insiemi di numars reâi il minim dai siei maiorants. In maniere simile, l'estrem inferiôr al è il plui grant dai minorants di . Stant che i doi concets a son duâi, si centrarìn cumò sul estrem superiôr, savint che risultâts analics a valin ancje par l'estrem inferiôr.

Daûr de definizion parsore, un numar reâl al è l'estrem superiôr di un sotinsiemi di , e si scrîf , se e dome se si verifichin chestis dôs condizions:

  1. al è maiôr di ducj i elements di e
  2. par cualsisei reâl minôr di , al è simpri pussibil cjatâ almancul un element di che i è maiôr.

In fat, si à , cualsisei , viodût che al à di jessi un maiorant di . Però al è il plui piçul dai maiorants: se , alore nol è un maiorant di e, duncje, al esist almancul un element tal che .

Si puedin alore gjavâ fûr cualchi considerazion. Prin, un insiemi al pues no vê estrem superiôr, par esempli parcè che al è superiormentri ilimitât. Secont, se l'estrem superiôr al esist, alore al è unic. Tierç, i concets di estrem superiôr e massim di un insiemi a son une vore leâts, ma a son diviers. In maniere specifiche, se l'insiemi al à massim , alore si à . In fat, l'insiemi dai maiorants di al è

L'estrem superiôr di al è il minim dai siei maiorants e, duncje,

In maniere reciproche, se un insiemi al à estrem superiôr e chest al aparten al stes insiemi , alore l'estrem superiôr al è ancje il massim dal insiemi . Al baste pensâ che al è un maiorant di (il plui piçul) e, duncje, par cualsisei . Però, cheste proprietât di e coincît cun la definizion di massim di cuant che o, in curt,

Esemplis[cambie | modifiche il codiç]

Considerant i esemplis fats prime, l'interval e l'insiemi dai numars intîrs a son superiormentri ilimitâts: no vint maiorants no àn nancje estrem superiôr.

L'insiemi dai maiorants dal interval , invezit, al è

e, duncje, l'estrem superiôr di al è
Inte stesse maniere, si pues dedusi che l'estrem superiôr dal insiemi
al è .

Intai ultins doi câs, l'estrem superiôr al esist e si pues viodi che al coincît cul massim dal insiemi. L'esempli che al ven daûr al dimostre che nol è simpri cussì: par l'interval viert l'insiemi dai maiorants al è

Chest al vûl dî che
Però in chest câs il numar 3 nol aparten al interval viert , che nol presente massim.

Un altri esempli di insiemi che al à estrem superiôr però nol à massim al è

I maiorants a son i elements dal interval superiormentri ilimitât e si à . Si sa però che nol esist nissun numar naturâl che al sedi l'inviers di 0 (i.e., ) e, duncje, nol à massim.

Estrems e completece dai numars reâi[cambie | modifiche il codiç]

Come comentât prime par i maiorants e i minorants, si pues cjacarâ di estrems par ogni insiemi là che al è pussibil definî une relazion di ordin, sedi parziâl o totâl. Par esempli, si puedin studiâ i estrems di cualsisei sotinsiemi di numars intîrs o razionâi.

O vin ancje viodût un ciert numar di esemplis di sotinsiemis superiormentri limitâts di che a àn estrem superiôr. Chest nol è un câs, e je anzit une proprietât fondamentâl che e distinc i numars reâi dai numars razionâi: ogni sotinsiemi di che al sedi no vueit e superiormentri limitât al amet estrem superiôr reâl. Cheste proprietât e je cognossude come la completece di secont Dedekind. Al contrari, un insiemi che nol è complet al pues vê dai sotinsiemis no vueits e limitâts cence estrem superiôr. I numars razionâi a fasin part di cheste tipologjie di insiemis.

Par sclarî un pôc miôr la diference tra numars reâi e numars razionâi in tiermins di completece, considerìn l'esempli dal insiemi

Cuant che o cjalìn come un sotinsiemi dai numars razionâi, l'insiemi dai soi maiorants al è

Jessint che nol è un numar razionâl, o podin ancje scrivi
Si conclût che l'insiemi dai maiorants razionâi nol à minim e, duncje, l'insiemi nol à estrem superiôr razionâl.

Invezit, l'insiemi dai maiorants di pensât come un sotinsiemi dai numars reâi al è

Cheste volte sì che o podìn dî che , sint un numar reâl (irazionâl). La conclusion e je che, intai reâi, .

Bibliografie[cambie | modifiche il codiç]