Insiemi

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In matematiche, un insiemi (insieme par talian e set par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.

In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.

Definizions[cambie | modifiche il codiç]

Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts elements dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi e l'insiemi (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi .

Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi e un ogjet , si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:

  1. al è un element di : a si dîs che al aparten a e si scrîf ;
  2. nol è un element di : a si dîs che nol aparten a e si scrîf .

Chest al impliche che:

  • no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
  • un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.

Descrizion[cambie | modifiche il codiç]

Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:

  1. par liste, o sei disint un a un ducj i elements:


    Lis dôs definizions di a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte;
  2. par carateristiche, o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:


    In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo


    Ancje chi, al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui e al sarà spiegât plui indevant).

Cardinalitât[cambie | modifiche il codiç]

Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis e e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis finîts, che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; e a son invezit insiemis infinîts e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la cardinalitât).

L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs insiemi vueit e si indiche cun il simbul .

Insiemis numerics fondamentâi[cambie | modifiche il codiç]

Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.

  • I numars naturâi a son ducj i intîrs no negatîfs:
  • I numars intîrs relatîfs, vâl a dî cun segn, si indichin cun
  • al è l'insiemi dai numars razionâi, ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:
    .
  • L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai numars reâi .
  • I numars complès a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant la unitât imagjinarie, si à
    .

Relazions tra insiemis[cambie | modifiche il codiç]

Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son coincidents. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin disiunts.

Sotinsiemis[cambie | modifiche il codiç]

al è un sotinsiemi di .

L'insiemi al è un sotinsiemi dal insiemi se e dome se ducj i elements di a son ancje elements di . La scriture doprade e je

.

Se si è sigûrs che al vedi ancje elements che no apartegnin a , si tabaie alore di sotinsiemi tal sens stret o sotinsiemi propri e si scrîf:

.

Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (no tal sens stret): l'insiemi vueit e l'insiemi stes.

Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:

.

(Nol è un erôr scrivi .)

Proprietâts de inclusion[cambie | modifiche il codiç]

  • Proprietât riflessive: par un cualsisei insiemi A e vâl la relazion

.

  • Proprietât antisimetriche: se e a son doi insiemis tai che

e alore .

  • Proprietât transitive: A sedin e trê insiemis. Se si à

alore .

Cheste proprietât e vâl ancje cu la forme strete de inclusion o une misture des dôs.

Insiemi des parts[cambie | modifiche il codiç]

L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi si clame insiemi des parts (power set in inglês) di . Par esempli, se , l'insiemi des parts al è

.

Par un insiemi finît di elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).

Operazions cui insiemis[cambie | modifiche il codiç]

Union di doi insiemis.
Intersezion di doi insiemis.
Insiemi diference di doi insiemis.
Complementâr dal insiemi intal insiemi univiers .
  • Union: la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin

    alore la union e je
    .
    Si pues notâ che e a son sotinsiemis dal insiemi union e che i elements comuns ai doi insiemis () no vegnin ripetûts.
  • Intersezion: la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun e come prime, si à
    .
    De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.
    O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.
  • Insiemi diference: l'insiemi diference di in ( o ) al è l'insiemi dai elements di che no apartegnin a . Continuant cul esempli:
    .
  • Complementâr: In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât insiemi univiers; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi al è l'insiemi diference di intal insiemi univiers. Se o clamìn l'insiemi univiers e (o ancje o ) il complementâr di , si à
    .
  • Prodot Cartesian: I elements dal prodot cartesian di doi insiemis e a son dutis lis pussibilis copis ordenadis che si puedin costruî sielzint il prin element intal insiemi e il secont element intal insiemi . In simbui:

    Al e facil viodi che la cardinalitât dal prodot cartesian e je il prodot des cardinalitâts di e (cuant che e a an un numar finît di elements). Cun di plui, jessint che i elements di a son copis ordenadis, il prodot cartesian nol è comutatîf, vâl a dî .

Proprietâts des operazions[cambie | modifiche il codiç]

Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis. Intai esemplis che a seguissin, i insiemis e a son sotinsiemis dal insiemi univiers .

  • Proprietât comutative: union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative
    ;
    .
  • Proprietât associative: union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis
    ;
    .
  • Proprietât distributive: de intersezion rispiet ae union

    e de union rispiet ae intersezion
    .
  • Formulis di De Morgan:
    ;
    .

A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:

  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • .

Bibliografie[cambie | modifiche il codiç]