Insiemi

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In matematiche, un insiemi (insieme par talian e set par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.

In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.

Definizions[cambie | modifiche il codiç]

Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts elements dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi A e l'insiemi B (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi A=B.

Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi A e un ogjet a, si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:

  1. a al è un element di A: a si dîs che a al aparten a A e si scrîf a \in A;
  2. a nol è un element di A: a si dîs che a nol aparten a A e si scrîf a \notin A.

Chest al impliche che:

  • no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
  • un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.

Descrizion[cambie | modifiche il codiç]

Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:

  1. par liste, o sei disint un a un ducj i elements:
    
A=\{0; 7; 33; 10088\}=\{10088; 7; 0;  33\};
    
B=\{\mbox{garofui; patatis; trisculis; cjariesis}\};
    Lis dôs definizions di A a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte;
  2. par carateristiche, o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:
    
C = \{\mbox{i numars pari}\};
    
D = \{\mbox{lis machinis cuntune ruede sbuse}\}.
    In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo
    
C = \{\forall n\in \mathbb{N}: n=2m, \forall m\in \mathbb{N}\}
    
E = \{\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2: y=3x + 5\}.
    Ancje chi, C al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui \mathbb{N} e \mathbb{R} al sarà spiegât plui indevant).

Cardinalitât[cambie | modifiche il codiç]

Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis A e B e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis finîts, che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; C e E a son invezit insiemis infinîts e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la cardinalitât).

L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs insiemi vueit e si indiche cun il simbul \emptyset.

Insiemis numerics fondamentâi[cambie | modifiche il codiç]

Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.

  • I numars naturâi a son ducj i intîrs no negatîfs:
    \mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}.
  • I numars intîrs relatîfs, vâl a dî cun segn, si indichin cun \mathbb{Z}
    \mathbb{Z}=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}.
  • \mathbb{Q} al è l'insiemi dai numars razionâi, ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:
    \mathbb{Q}=\{\forall q: q=\frac{m}{n}, \forall m,n\in\mathbb{Z} \mbox{ e } n\neq 0\}.
  • L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai numars reâi \mathbb{R}.
  • I numars complès \mathbb{C} a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant i=\sqrt{-1} la unitât imagjinarie, si à
    \mathbb{C}=\{\forall z: z=x+iy, \forall x,y\in \mathbb{R}\}.

Relazions tra insiemis[cambie | modifiche il codiç]

Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son coincidents. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin disiunts.

Sotinsiemis[cambie | modifiche il codiç]

A al è un sotinsiemi di B.

L'insiemi B al è un sotinsiemi dal insiemi A se e dome se ducj i elements di B a son ancje elements di A. La scriture doprade e je

B\subseteq A\mbox{ o ancje } A \supseteq B.

Se si è sigûrs che A al vedi ancje elements che no apartegnin a B, si tabaie alore di sotinsiemi tal sens stret o sotinsiemi propri e si scrîf:

B\subset A\mbox{ o ancje } A \supset B.

Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (no tal sens stret): l'insiemi vueit \emptyset e l'insiemi stes.

Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.

(Nol è un erôr scrivi \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}.)

Proprietâts de inclusion[cambie | modifiche il codiç]

  • Proprietât riflessive: par un cualsisei insiemi A e vâl la relazion

A\subseteq A.

  • Proprietât antisimetriche: se A e B a son doi insiemis tai che

A\subseteq B e B\subseteq A alore A=B.

  • Proprietât transitive: A sedin A, B e C trê insiemis. Se si à

(A\subseteq B) e (B\subseteq C) alore A\subseteq C.

Cheste proprietât e vâl ancje cu la forme strete de inclusion o une misture des dôs.

Insiemi des parts[cambie | modifiche il codiç]

L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi A si clame insiemi des parts (power set in inglês) di A. Par esempli, se A=\{1,2,3\}, l'insiemi des parts \mathcal{P}(A) al è

\mathcal{P}(A)=\{\emptyset; A; \{1\}; \{2\}; \{3\}; \{1; 2\}; \{1; 3\}; \{2; 3\}\}.

Par un insiemi finît di n elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je 2^n (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).

Operazions cui insiemis[cambie | modifiche il codiç]

Union di doi insiemis.
Intersezion di doi insiemis.
Insiemi diference di doi insiemis.
Complementâr dal insiemi A intal insiemi univiers U.
  • Union: la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin
    A=\{1; 4; 8; 11\} \mbox{ e } B=\{3; 5; 4; 7; 1\}
    alore la union e je
    A\cup B=\{1; 4; 8; 11; 3; 5; 7\}.
    Si pues notâ che A e B a son sotinsiemis dal insiemi union A\cup B e che i elements comuns ai doi insiemis (\{1; 4\}) no vegnin ripetûts.
  • Intersezion: la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun A e B come prime, si à
    A\cap B=\{1; 4\}.
    De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.
    O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.
  • Insiemi diference: l'insiemi diference di A in B (B\setminus A o B-A) al è l'insiemi dai elements di B che no apartegnin a A. Continuant cul esempli:
    B\setminus A=\{3; 5; 7\} \mbox{ e } A\setminus B=\{8; 11\}.
  • Complementâr: In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât insiemi univiers; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi A al è l'insiemi diference di A intal insiemi univiers. Se o clamìn U l'insiemi univiers e \bar{A} (o ancje \mathcal{C}_U(A) o A') il complementâr di A, si à
    \bar{A} = U \setminus A.
  • Prodot Cartesian: I elements dal prodot cartesian A\times B di doi insiemis A e B a son dutis lis pussibilis copis ordenadis che si puedin costruî sielzint il prin element intal insiemi A e il secont element intal insiemi B. In simbui:
    A\times B = \{(a,b)|a\in A \text{ e } b\in B\}.
    Al e facil viodi che la cardinalitât dal prodot cartesian A \times B e je il prodot des cardinalitâts di A e B (cuant che A e B a an un numar finît di elements). Cun di plui, jessint che i elements di A \times B a son copis ordenadis, il prodot cartesian nol è comutatîf, vâl a dî A \times B \ne B \times A.

Proprietâts des operazions[cambie | modifiche il codiç]

Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis. Intai esemplis che a seguissin, i insiemis A, B e C a son sotinsiemis dal insiemi univiers U.

  • Proprietât comutative: union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative
    A\cup B = B\cup A;
    A\cap B = B\cap A.
  • Proprietât associative: union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis
    A\cup B\cup C = (A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C);
    A\cap B\cap C = (A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C).
  • Proprietât distributive: de intersezion rispiet ae union
    A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)
    e de union rispiet ae intersezion
    A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C).
  • Formulis di De Morgan:
    \overline{A\cap B} = \bar{A}\cup\bar{B};
    \overline{A\cup B} = \bar{A}\cap\bar{B}.

A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:

  • A\cup A = A \mbox{ e } A\cap A = A;
  • A\cup \emptyset = A \mbox{ e } A\cap \emptyset = \emptyset;
  • \overline{\bar{A}}=A;
  • A\cap\bar{A} = \emptyset \mbox{ e } A\cup\bar{A}=U;
  • A\setminus A = \emptyset;
  • A\setminus B = A \cap \bar{B}.

Bibliografie[cambie | modifiche il codiç]