Insiemi: diferencis tra lis versions
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In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche. |
In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche. |
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==Definizions== |
== Definizions == |
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Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts '''elements''' dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi <math>A</math> e l'insiemi <math>B</math> (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns |
Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts '''elements''' dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi <math>A</math> e l'insiemi <math>B</math> (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi <math>A=B</math>. |
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Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi <math>A</math> e un ogjet <math>a</math>, si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin: |
Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi <math>A</math> e un ogjet <math>a</math>, si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin: |
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* un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi. |
* un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi. |
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==Descrizion== |
== Descrizion == |
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Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son: |
Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son: |
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# par ''liste'', o sei disint un a un ducj i elements:<!--- |
# par ''liste'', o sei disint un a un ducj i elements:<!--- |
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A=\{0; 7; 33; 10088\}=\{10088; 7; 0; 33\}; |
A=\{0; 7; 33; 10088\}=\{10088; 7; 0; 33\}; |
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B=\{\mbox{garofui; patatis; trisculis; cjariesis}\}; |
B=\{\mbox{garofui; patatis; trisculis; cjariesis}\}; |
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---><br>Lis dôs definizions di <math>A</math> a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte; |
---><br />Lis dôs definizions di <math>A</math> a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte; |
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# par ''carateristiche'', o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:<!--- |
# par ''carateristiche'', o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:<!--- |
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C = \{\mbox{i numars pari}\}; |
C = \{\mbox{i numars pari}\}; |
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D = \{\mbox{lis machinis cuntune ruede sbuse}\}. |
D = \{\mbox{lis machinis cuntune ruede sbuse}\}. |
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---><br>In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo<!--- |
---><br />In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo<!--- |
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C = \{\forall n\in \mathbb{N}: n=2m, \forall m\in \mathbb{N}\} |
C = \{\forall n\in \mathbb{N}: n=2m, \forall m\in \mathbb{N}\} |
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E = \{\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2: y=3x + 5\}. |
E = \{\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2: y=3x + 5\}. |
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---><br>Ancje chi, <math>C</math> al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui <math>\mathbb{N}</math> e <math>\mathbb{R}</math> al sarà spiegât plui indevant). |
---><br />Ancje chi, <math>C</math> al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui <math>\mathbb{N}</math> e <math>\mathbb{R}</math> al sarà spiegât plui indevant). |
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===Cardinalitât=== |
=== Cardinalitât === |
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Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis <math>A</math> e <math>B</math> e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis ''finîts'', che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; <math>C</math> e <math>E</math> a son invezit insiemis ''infinîts'' e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la [[cardinalitât]]). |
Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis <math>A</math> e <math>B</math> e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis ''finîts'', che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; <math>C</math> e <math>E</math> a son invezit insiemis ''infinîts'' e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la [[cardinalitât]]). |
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L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs ''insiemi vueit'' e si indiche cun il simbul <math>\emptyset</math>. |
L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs ''insiemi vueit'' e si indiche cun il simbul <math>\emptyset</math>. |
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===Insiemis numerics fondamentâi=== |
=== Insiemis numerics fondamentâi === |
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Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche. |
Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche. |
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* I '''numars naturâi''' a son ducj i intîrs no negatîfs:<!--- |
* I '''numars naturâi''' a son ducj i intîrs no negatîfs:<!--- |
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---><br><math>\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}.</math> |
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* I '''numars intîrs relatîfs''', vâl a dî cun segn, si indichin cun <math>\mathbb{Z}</math><!--- |
* I '''numars intîrs relatîfs''', vâl a dî cun segn, si indichin cun <math>\mathbb{Z}</math><!--- |
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---><br><math>\mathbb{Z}=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}.</math> |
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* <math>\mathbb{Q}</math> al è l'insiemi dai '''numars razionâi''', ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:<!--- |
* <math>\mathbb{Q}</math> al è l'insiemi dai '''numars razionâi''', ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:<!--- |
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---><br><math>\mathbb{Q}=\{\forall q: q=\frac{m}{n}, \forall m,n\in\mathbb{Z} \mbox{ e } n\neq 0\}</math>. |
---><br /><math>\mathbb{Q}=\{\forall q: q=\frac{m}{n}, \forall m,n\in\mathbb{Z} \mbox{ e } n\neq 0\}</math>. |
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* L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai '''numars reâi''' <math>\mathbb{R}</math>. |
* L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai '''numars reâi''' <math>\mathbb{R}</math>. |
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* I '''numars complès''' <math>\mathbb{C}</math> a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant <math>i=\sqrt{-1}</math> la ''unitât imagjinarie'', si à<!--- |
* I '''numars complès''' <math>\mathbb{C}</math> a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant <math>i=\sqrt{-1}</math> la ''unitât imagjinarie'', si à<!--- |
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---><br><math>\mathbb{C}=\{\forall z: z=x+iy, \forall x,y\in \mathbb{R}\}</math>. |
---><br /><math>\mathbb{C}=\{\forall z: z=x+iy, \forall x,y\in \mathbb{R}\}</math>. |
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==Relazions tra insiemis== |
== Relazions tra insiemis == |
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Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son '''coincidents'''. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin '''disiunts'''. |
Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son '''coincidents'''. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin '''disiunts'''. |
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===Sotinsiemis=== |
=== Sotinsiemis === |
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[[Figure:Venn_A_subset_B.svg|thumb|right|<math>A</math> al è un sotinsiemi di <math>B</math>.]]L'insiemi <math>B</math> al è un ''sotinsiemi'' dal insiemi <math>A</math> se e dome se ducj i elements di <math>B</math> a son ancje elements di <math>A</math>. La scriture doprade e je |
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:<math>B\subseteq A\mbox{ o ancje } A \supseteq B</math>. |
:<math>B\subseteq A\mbox{ o ancje } A \supseteq B</math>. |
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Rie 74: | Rie 74: | ||
(Nol è un erôr scrivi <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math>.) |
(Nol è un erôr scrivi <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math>.) |
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===Insiemi des parts=== |
=== Insiemi des parts === |
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L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi <math>A</math> si clame ''insiemi des parts'' ([[:en:power set]] in inglês) di <math>A</math>. Par esempli, se <math>A=\{1,2,3\}</math>, l'insiemi des parts <math>\mathcal{P}(A)</math> al è |
L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi <math>A</math> si clame ''insiemi des parts'' ([[:en:power set]] in inglês) di <math>A</math>. Par esempli, se <math>A=\{1,2,3\}</math>, l'insiemi des parts <math>\mathcal{P}(A)</math> al è |
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:<math>\mathcal{P}(A)=\{\emptyset; A; \{1\}; \{2\}; \{3\}; \{1; 2\}; \{1; 3\}; \{2; 3\}\}</math>. |
:<math>\mathcal{P}(A)=\{\emptyset; A; \{1\}; \{2\}; \{3\}; \{1; 2\}; \{1; 3\}; \{2; 3\}\}</math>. |
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Rie 80: | Rie 80: | ||
Par un insiemi finît di <math>n</math> elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je <math>2^n</math> (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element). |
Par un insiemi finît di <math>n</math> elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je <math>2^n</math> (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element). |
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==Operazions cui insiemis== |
== Operazions cui insiemis == |
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[[Figure:Set_union.png|thumb|right|Union di doi insiemis.]] [[Figure:Venn_A_intersect_B.svg|thumb|right|Intersezion di doi insiemis.]] [[Figure:Venn_B_minus_A.png|thumb|right|Insiemi diference di doi insiemis.]] [[Figure:Venn_A_complement.png|thumb|right|Complementâr dal insiemi <math>A</math> intal insiemi univiers <math>U</math>.]] |
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*'''Union''': la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin<!--- |
*'''Union''': la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin<!--- |
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---><br>alore la union e je<!--- |
---><br />alore la union e je<!--- |
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---><br><math>A\cup B=\{1; 4; 8; 11; 3; 5; 7\}</math>.<!--- |
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---><br>Si pues notâ che <math>A</math> e <math>B</math> a son sotinsiemis dal insiemi union <math>A\cup B</math> e che i elements comuns ai doi insiemis (<math>\{1; 4\}</math>) no vegnin ripetûts. |
---><br />Si pues notâ che <math>A</math> e <math>B</math> a son sotinsiemis dal insiemi union <math>A\cup B</math> e che i elements comuns ai doi insiemis (<math>\{1; 4\}</math>) no vegnin ripetûts. |
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*'''Intersezion''': la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun <math>A</math> e <math>B</math> come prime, si à<!--- |
*'''Intersezion''': la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun <math>A</math> e <math>B</math> come prime, si à<!--- |
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---><br><math>A\cap B=\{1; 4\}</math>.<!--- |
---><br /><math>A\cap B=\{1; 4\}</math>.<!--- |
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---><br>De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.<!--- |
---><br />De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.<!--- |
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---><br>O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit. |
---><br />O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit. |
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*'''Insiemi diference''': l'insiemi diference di <math>A</math> in <math>B</math> (<math>B\setminus A</math> o <math>B-A</math>) al è l'insiemi dai elements di <math>B</math> che no apartegnin a <math>A</math>. Continuant cul esempli:<!--- |
*'''Insiemi diference''': l'insiemi diference di <math>A</math> in <math>B</math> (<math>B\setminus A</math> o <math>B-A</math>) al è l'insiemi dai elements di <math>B</math> che no apartegnin a <math>A</math>. Continuant cul esempli:<!--- |
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---><br><math>B\setminus A=\{3; 5; 7\} \mbox{ e } A\setminus B=\{8; 11\}</math>. |
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*'''Complementâr''': In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât ''insiemi univiers''; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi <math>A</math> al è l'insiemi diference di <math>A</math> intal insiemi univiers. Se o clamìn <math>U</math> l'insiemi univiers e <math>\bar{A}</math> (o ancje <math>\mathcal{C}_U(A)</math> o <math>A'</math>) il complementâr di <math>A</math>, si à<!--- |
*'''Complementâr''': In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât ''insiemi univiers''; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi <math>A</math> al è l'insiemi diference di <math>A</math> intal insiemi univiers. Se o clamìn <math>U</math> l'insiemi univiers e <math>\bar{A}</math> (o ancje <math>\mathcal{C}_U(A)</math> o <math>A'</math>) il complementâr di <math>A</math>, si à<!--- |
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---><br><math>\bar{A} = U \setminus A</math>. |
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===Proprietâts des operazions=== |
=== Proprietâts des operazions === |
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Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis. |
Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis. |
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Intai esemplis che a seguissin, i insiemis <math>A, B</math> e <math>C</math> a son sotinsiemis dal insiemi univiers <math>U</math>. |
Intai esemplis che a seguissin, i insiemis <math>A, B</math> e <math>C</math> a son sotinsiemis dal insiemi univiers <math>U</math>. |
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*'''Proprietât comutative''': union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative<!--- |
*'''Proprietât comutative''': union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative<!--- |
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---><br><math>A\cup B = B\cup A</math>;<!--- |
---><br /><math>A\cup B = B\cup A</math>;<!--- |
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---><br><math>A\cap B = B\cap A</math>. |
---><br /><math>A\cap B = B\cap A</math>. |
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*'''Proprietât associative''': union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis<!--- |
*'''Proprietât associative''': union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis<!--- |
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---><br><math>A\cup B\cup C = (A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)</math>;<!--- |
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---><br><math>A\cap B\cap C = (A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)</math>. |
---><br /><math>A\cap B\cap C = (A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)</math>. |
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*'''Proprietât distributive''': de intersezion rispiet ae union<!--- |
*'''Proprietât distributive''': de intersezion rispiet ae union<!--- |
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---><br><math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math><!--- |
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---><br>e de union rispiet ae intersezion<!--- |
---><br />e de union rispiet ae intersezion<!--- |
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---><br><math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>. |
---><br /><math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>. |
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*'''Formulis di De Morgan''':<!--- |
*'''Formulis di De Morgan''':<!--- |
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---><br><math>\overline{A\cap B} = \bar{A}\cup\bar{B}</math>;<!--- |
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A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr: |
A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr: |
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* <math>A\cup A = A \mbox{ e } A\cap A = A</math>; |
* <math>A\cup A = A \mbox{ e } A\cap A = A</math>; |
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Rie 123: | Rie 123: | ||
* <math>A\setminus B = A \cap \bar{B}</math>. |
* <math>A\setminus B = A \cap \bar{B}</math>. |
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==Bibliografie== |
== Bibliografie == |
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* G. Spirito. ''Matematica Senza Numeri''. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8 |
* G. Spirito. ''Matematica Senza Numeri''. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8 |
||
* A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. ''La Nomencladure des Matematichis''. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997. |
* A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. ''La Nomencladure des Matematichis''. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997. |
||
Rie 130: | Rie 130: | ||
* Contributori di Wikipedia. ''Insieme'', in ''Wikipedia, l'Enciclopedia Libera'', 8 giugno 2007, 19:50 UTC, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Insieme&oldid=9201617> [in data 9 agosto 2007] |
* Contributori di Wikipedia. ''Insieme'', in ''Wikipedia, l'Enciclopedia Libera'', 8 giugno 2007, 19:50 UTC, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Insieme&oldid=9201617> [in data 9 agosto 2007] |
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[[Categorie:Matematiche]] |
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[[als:Menge (Mathematik)]] |
[[als:Menge (Mathematik)]] |
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Rie 200: | Rie 200: | ||
[[ur:مجموعہ]] |
[[ur:مجموعہ]] |
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[[vi:Tập hợp]] |
[[vi:Tập hợp]] |
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[[xal:Олн]] |
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[[yi:סכום (מאטעמאטיק)]] |
[[yi:סכום (מאטעמאטיק)]] |
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[[zh:集合]] |
[[zh:集合]] |
Revision dai 12 di Set 2009 a lis 13:03
In matematiche, un insiemi (insieme par talian e set par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.
In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.
Definizions
Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts elements dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi e l'insiemi (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi .
Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi e un ogjet , si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:
- al è un element di : a si dîs che al aparten a e si scrîf ;
- nol è un element di : a si dîs che nol aparten a e si scrîf .
Chest al impliche che:
- no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
- un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.
Descrizion
Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:
- par liste, o sei disint un a un ducj i elements:
Lis dôs definizions di a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte; - par carateristiche, o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:
In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo
Ancje chi, al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui e al sarà spiegât plui indevant).
Cardinalitât
Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis e e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis finîts, che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; e a son invezit insiemis infinîts e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la cardinalitât).
L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs insiemi vueit e si indiche cun il simbul .
Insiemis numerics fondamentâi
Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.
- I numars naturâi a son ducj i intîrs no negatîfs:
- I numars intîrs relatîfs, vâl a dî cun segn, si indichin cun
- al è l'insiemi dai numars razionâi, ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:
. - L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai numars reâi .
- I numars complès a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant la unitât imagjinarie, si à
.
Relazions tra insiemis
Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son coincidents. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin disiunts.
Sotinsiemis
L'insiemi al è un sotinsiemi dal insiemi se e dome se ducj i elements di a son ancje elements di . La scriture doprade e je
- .
Se si è sigûrs che al vedi ancje elements che no apartegnin a , si tabaie alore di sotinsiemi tal sens stret o sotinsiemi propri e si scrîf:
- .
Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (no tal sens stret): l'insiemi vueit e l'insiemi stes.
Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:
- .
(Nol è un erôr scrivi .)
Insiemi des parts
L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi si clame insiemi des parts (en:power set in inglês) di . Par esempli, se , l'insiemi des parts al è
- .
Par un insiemi finît di elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).
Operazions cui insiemis
- Union: la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin
alore la union e je
.
Si pues notâ che e a son sotinsiemis dal insiemi union e che i elements comuns ai doi insiemis () no vegnin ripetûts.
- Intersezion: la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun e come prime, si à
.
De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.
O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.
- Insiemi diference: l'insiemi diference di in ( o ) al è l'insiemi dai elements di che no apartegnin a . Continuant cul esempli:
.
- Complementâr: In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât insiemi univiers; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi al è l'insiemi diference di intal insiemi univiers. Se o clamìn l'insiemi univiers e (o ancje o ) il complementâr di , si à
.
Proprietâts des operazions
Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis. Intai esemplis che a seguissin, i insiemis e a son sotinsiemis dal insiemi univiers .
- Proprietât comutative: union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative
;
. - Proprietât associative: union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis
;
. - Proprietât distributive: de intersezion rispiet ae union
e de union rispiet ae intersezion
. - Formulis di De Morgan:
;
.
A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Bibliografie
- G. Spirito. Matematica Senza Numeri. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8
- A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. La Nomencladure des Matematichis. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.
- M. Fogale e E. Paolini. Une Introduzion ae Analisi Matematiche. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 2001.
- Wikipedia Contributors. Set, in Wikipedia, the Free Enciclopedia, 30 July 2007, 00:14 UTC, <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Set&oldid=147952691> [accessed 9 August 2007]
- Contributori di Wikipedia. Insieme, in Wikipedia, l'Enciclopedia Libera, 8 giugno 2007, 19:50 UTC, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Insieme&oldid=9201617> [in data 9 agosto 2007]