Derivade

De Vichipedie, la enciclopedie libare dute in marilenghe.

La derivade e je insieme cul integrâl une da lis dôs operazions centrâls dal calcul (cjale ancje il teoreme fondamentâl dal calcul).

In matematiche, la derivade f', la si definìs par mieç dal limit:

 f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

I simbui doprâts pe matematiche a son diviers, e spes l'ûs al dipint dome dal gust personâl; oltri a f' si cjatin ancje:

\frac{df}{dx};~ \frac{d}{dx}f;~ D_x f;~\dot{f}

Significât de derivade[cambie | modifiche il codiç]

Intuitivementri la derivade e esprim:

  • la velocitât dal cambiament de funzion. Pensant ae definizion ca parsore, si viôt come la variazion "h" de funzion

(f(x+h)-f(x)) intun interval di timp e ven confrontade cul valôr "h" dal timp che al è passât tra x e x+h.

Un esempli inte cinematiche e je la espression de posizion di un pont esprimude in funzion dal timp, che par solit si scrîf come x(t). Se cumò o vuelin savê la velocitât di moviment dal pont, o vin di derivâ la funzion de posizion rispiet al timp. Difat, la velocitât e si gjave fûr dividint il spazi par il timp, par cui cjapant la distance percorude (es. x(t+h)-x(t)) e dividintle pal timp passât "h" nus ven fûr la velocitât medie tal interval (t,t+h): se cumò o fasin tindi a zero il timp, ven a stâi cjapin intervai simpri plui piçui di timp, o cjatarin la velocitât istantanee; chest procès al è propi compagn de definizion di derivade.

La rete e je la tangjent ae funzion f(x) tal pont x0
  • la tangjent dal pont di viste gjepmetric: la derivade di une funzion intun pont A e misure la pendence de rete tangjent al grafic de funzion in chel pont

Derivabilitât[cambie | modifiche il codiç]

Une funzion e je diferenziabil intun pont x se e esist la sô derivade in x; par chest une funzion che no je continue in x no sarà diferenziabil, parcè che in chel pont no esistarà la tangjent. Di chê altre bande, nol è sigûr che une funzion continue sedi diferenziabil

Derivade n-esime[cambie | modifiche il codiç]

La derivade n-esime f(n) di une funzion f e je la funzion che o cjatin derivant par n voltis la funzion f. O fevelin duncje di derivade seconde, derivade tierce e cussì indevant; tal scrivi si doprin in gjenar chescj simbui:

f'' = f^{(2)} = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2} ,
f''' = f^{(3)} = \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3} ,
...
f^{(n)} = \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n} .

Une funzion derivabil no je però par fuarce derivabil n voltis: par esempli, la funzion ca sot e à une derivade prime, ma no à une derivade seconde.

f(x) = x |x|

Difat, la derivade di f e je f' (x) = 2 |x|, che no je a sô volte derivabil.

Regulis di derivazion[cambie | modifiche il codiç]

Calcolâsi ogni volte il limit de funzion al puarte vie un grum di timp; par chest in gjenar si doprin lis derivadis fondamentâls: derivadis di funzions semplicis e di ûs frecuent di meti insieme par mieç di regulis di derivazion.

  • Some: {\left( {f \pm g} \right)' = f' \pm g'}
  • Prodot (regule di Leibniz): {\left( {f(x)g(x)} \right)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)}
  • Cuozient:
    {D\left( {{f(x) \over g(x)}} \right)  = {{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)} \over {g(x)^{\rm 2}}}}
  • Funzion componude: {D\left( {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = f'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)}
  • Funzion disledrosade:
    {D\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f'\left( x \right)}} = {{\rm 1} \over {f'\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right)}}}


Derivadis fondamentâls[cambie | modifiche il codiç]

  • {D\left( \textrm{costante} \right) = 0 }
  • {D\left( {ax} \right) = a }
  • {D\left( {x^n } \right) = nx^{n - {\rm 1}} }
  • {D\left( {x^2 } \right) = 2x }
  • D\left( e^x  \right) = e^x
  • D\left( a^x  \right) = a^x \ln a
  • D\left( \ln x \right) = \frac 1 x
  • D\left( \sin x \right) = \cos x
  • D\left( \cos x \right) =  - \sin x
  • D\left( \tan x \right) = D\left( \frac {\sin x}{\cos x} \right) = 1 + \tan^2 x = \frac 1{\cos^2 x}
  • D\left( {\rm cotan\,} x \right) = D\left( \frac {\cos x}{\sin x} \right) = \frac 1{\sin^2 x}
  • D\left( \arcsin x \right) = \frac 1{\sqrt {1 - x^2}}
  • D\left( \arccos x \right) = \frac 1{ - \sqrt {1 - x^2}}
  • D\left( \arctan x \right) = \frac 1 { 1 + x^2}
  • D\left( \sinh x \right) = \cosh x
  • D\left( \cosh x \right) = \sinh x
  • D\left( \tanh x \right) = \frac 1 {\cosh^2 x}

Derivadis di funzions componudis[cambie | modifiche il codiç]

  • {D\left( {\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right] } \right) = {f'[{g\left( x \right)} ]{g'\left( x \right)}} }
  • {D\left( {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n } \right) = n\left[ {f\left( x \right)} \right]^{n - {\rm 1}} f'\left( x \right)}
  • {D\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right) = {{\rm 1} \over {{\rm 2}\sqrt {f\left( x \right)} }}} f'\left( x \right)
  • {D\left( {{\rm ln}f\left( x \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right) = {{f'\left( x \right)} \over {f\left( x \right)}}}
  • {D\left( {e^{f\left( x \right)} } \right) = e^{f\left( x \right)} f'\left( x \right)}
  • {D\left( {{\rm sin}f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right){\rm cos}f\left( x \right)}
  • {D\left( {{\rm cos}f\left( x \right)} \right) =  - f'\left( x \right){\rm sin}f\left( x \right)}
  • {D\left( {\arctan f\left( x \right)} \right) = {{f'\left( x \right)} \over {{\rm 1} + \left[ {f\left( x \right)} \right]^{\rm 2} }}}
  • {{D\left( {f\left( x \right)^{g\left( x \right)} } \right) = f\left( x \right)^{g\left( x \right)} \left\{ {g'\left( x \right){\rm ln}f\left( x \right) + g\left( x \right){{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right)} \right\}}}

Cjale ancje[cambie | modifiche il codiç]

Leams esternis[cambie | modifiche il codiç]